|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Standmatrix van een vlak
Ik zit al geruime tijd mij af te vragen waarom hetgeen hieronder staat altijd klopt...
Er blijkt namelijk dat åx3 steeds gelijk is aan (åx)2
Dus als we willekeurige getallen invullen (ondergrens steeds 1!), bovengrens bv. 3, klopt het:
13+23+33 =? (1+2+3)2
Ja, want 36 = 36
Zo ook voor alle getallen.
Ik kan maar niet begrijpen waarom dit kan. Ik heb het geprobeerd door volledige inductie, maar er moet toch een veel logischer verklaring zijn? Zie ik er gewoon over?
Dank bij voorbaat!
Antwoord
Laten we eens kijken wat er gebeurt als n toeneemt van n=3 naar n=4.
Het linkerlid neemt toe met 43.
Het rechterlid neemt toe met (1+2+3+4)2-(1+2+3)2.
Dit kun je herschrijven als
(1+2+3+4+1+2+3)(1+2+3+4-1-2-3)=(1+2+3+4+1+2+3)(4);
(1+2+3+4+1+2+3)=2.(1+2+3+4)-4=2.1/2.4.(4+1)-4=4.(4+1)-4=4.4
De toename is dus 4.4.4=43.
Omdat het klopt voor n=3 klopt het dus ook voor n=4.
Dit kun je ook doen met de toename van n-1 naar n termen.
Toename links is n3.
Toename rechts is
(1+2+3+...n)2-(1+2+....(n-1))2=
(1+2+....n+1+2+...n-1)(n)=
(2*(1+2+...n)-n)(n)=
(2*1/2n(n+1)-n)(n)=
(n2+n-n)(n)=n3.
Toename links en rechts gelijk.
Omdat het klopt voor n=1,2,3,4 klopt het dus ook voor alle n.
(Dus eigenlijk wel volledige inductie)
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
